miércoles, 18 de marzo de 2009

Suma de Riemann

Nació en Breselenz, una aldea cercana a Dannenberg en el Reino de Hanóver, actualmente parte de Alemania. Su padre Friedrich Bernhard Riemann era pastor luterano en Breselenz y había luchado en las guerras napoleónicas. Bernhard era el segundo de seis niños, su frágil salud y la temprana muerte de casi todos sus hermanos fueron debidos a la subalimentación en su juventud. Su madre también murió antes de que sus hijos crecieran.
En
1840 Bernhard fue a Hanóver a vivir con su abuela y a visitar el Lyceum. Después de la muerte de su abuela en 1842 entró al Johanneum Lüneburg. Desde pequeño demostró una fabulosa capacidad para el cálculo unido a una timidez casi enfermiza. Durante sus estudios de secundaria aprendía tan rápido que en seguida adelantaba a todos sus profesores.
En
1846, a la edad de 19, comenzó a estudiar filología y teología en la Universidad de Göttingen, su idea era complacer a su padre y poder ayudar a su familia haciéndose pastor. Atendió a conferencias de Gauss sobre el Método de mínimos cuadrados. En 1847 su padre reunió el dinero suficiente para que comenzara a estudiar matemáticas.
En
1847 se trasladó a Berlín, donde enseñaban Jacobi, Dirichlet y Steiner. En 1848 estallaron manifestaciones y movimientos obreros por toda Alemania, Riemann fue reclutado por las milicias de estudiantes, incluso ayudó a proteger al rey en su palacio de Berlín. Permaneció allí por dos años y volvió a Göttingen en 1849.
En
1859 formuló por primera vez la hipótesis de Riemann el cual es uno de los más famosos e importantes problemas sin resolver de las matemáticas
Riemann dio sus primeras conferencias en
1854, en las cuales fundó el campo de la geometría de Riemann. Lo promovieron a profesor extraordinario en la universidad de Göttingen en 1857 y se hizo profesor ordinario en 1859. En 1862 se casó con Elise Koch. Murió de tuberculosis en su tercer viaje a Italia en Selasca.
Obras Principales
Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (
1851). Publicado en Werke: Disertación sobre la teoría general de funciones de variable compleja, basada en las hoy llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann. En ella inventó el instrumento de la superficie de Riemann.
Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (
1854) Publicado en Werke: Realizado para acceder a su cargo de Privadozent ("Profesor auxiliar"). En él analiza las condiciones de Dirichlet para el problema de representación de funciones en serie de Fourier. Con este trabajo definió el concepto de integral de Riemann y creó una nueva rama de las matemáticas: La teoría de funciones de una variable real.
Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (
1854) Publicado en Werke: Transcripción de una clase magistral impartida por Riemann a petición de Gauss. Quizás se trate de la mayor lección científica individual presentada por el hombre. Versa sobre los fundamentos de la geometría. Se desarrolla como una generalización de los principios de la geometría euclidiana y la no euclídea. La unificación de todas las geometrías se conoce hoy en día como geometría de Riemann y es básica para la Teoría de la Relatividad de Einstein.
Ueber die Anzahl der Primzahlem unter einter gegebenen Grösse (
1859) Publicado en Werke: El más célebre trabajo de Riemann. Su único ensayo sobre la teoría de números. La mayor parte del artículo está dedicado a los números primos. En ella introduce la función zeta de Riemann.
En nuestro idioma, existe una edición de escritos matemáticos, físicos y filosóficos de Riemann: Riemanniana Selecta, editada por J. Ferreirós (Madrid, CSIC, 2000; colección Clásicos del Pensamiento). Se incluyen los tres últimos trabajos mencionados, además de otros materiales, precedidos por un estudio introductorio de unas 150 páginas.
TEORIA U OBRA
En
matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
Definición
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Consideremos lo siguiente:
· una
función
donde D es un subconjunto de los
números reales
· I = [a, b] un
intervalo cerrado contenido en D.
· Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < xn =" b">
partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como
donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal



Integración de Riemann
La integral de
Riemann es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto.
Normalmente se nota como:
El símbolo es una "S" deformada. En el caso en que la función f tenga varias variables, el dx especifica la variable de integración.Si la variable de integración y el intervalo de integración son conocidos, la notación se puede simplificar como .
Algunas funciones no son claramente integrables por Riemann, pero en general las interacciones de los
límites con la integral de Riemann son difíciles de estudiar.
La
integral de Lebesgue mejora esta teoría y permite obtener una mayor variedad de funciones integrables, así como describir mejor las interacciones de los límites con la integral.
Históricamente,
Riemann concibió esta teoría de integración, y proporcionó algunas ideas para el teorema fundamental del cálculo diferencial e integral. La teoría de la integración de Lebesgue llegó mucho más tarde, cuando los puntos débiles de la integral de Riemann se comprendían mejor.


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En
Análisis real, la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área bajo la curva de la función.
Sea f una función con valores
reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf={(x, y)0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir.




Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.





El área de cada rectángulo, es el producto de la función en un punto, por el ancho del intervalo.


REFERENCIAS

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann
http://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_de_Riemann
Rene Jiménez
“Calculo Integral”
Edición: Pearson Educación, Mex, S.A de C.V
Primera Edición 2008 (pagina 70-72)

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